Пример. (Вариант 2 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)
15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
· 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
· 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.
Тогда 1,01А долг после первого месяца.
Со 2-го по 14-е число производится выплата А/15 +0,01А.
После чего сумма долга составит 1,01А – А/15 – 0,01А = 14А/15
При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Через 2 месяца получаем: 1,01• 14А/15.
Второй платеж А/15 + 0,01• 14А/15.
Тогда долг после второго платежа 13А/15.
Аналогично получаем, что восьмая выплата будет иметь вид:
А/15 + 0,01• 8А/15 = А/15 • (1 + 0,08) = 1,08А/15.
А по условию она равна 108 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
1,08А/15 = 108,
А=1500 (тыс. руб.) – исходная сумма долга.
2) Чтобы найти сумму, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, мы должны найти сумму всех выплат по кредиту.
Сумма всех выплат по кредиту будет иметь вид:
(А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01• 14А/15) + (А/15 + 0,01• 13А/15) + … + ( А/15 + 0,01• А/15) = А + 0,01А/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = А + (0,01• 120А)/15 = 1,08А.
Значит, 1,08 • 1500 = 1620 (тыс. руб.) = 1620000 рублей нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.
Ответ: 1620000 рублей.
Пример. (Вариант 6 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
· 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
· со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
· 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.
Тогда 1,01А долг после первого месяца.
Со 2-го по 14-е число производится выплата А/24 +0,01А.
После чего сумма долга составит 1,01А – А/24 – 0,01А = А – А/24 = 23А/24.
При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Через 2 месяца получаем: 1,01• 23А/24.
Второй платеж А/24 + 0,01• 23А/24.
Тогда долг после второго платежа 1,01• 23А/24 – А/24 – 0,01• 23А/24 = 23А/24(1,01 – 0,01) – А/24 = 23А/24 – А/24 = 22А/24.
Таким образом получаем, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку следующую сумму:
А/24 +0,01А • 24/24 + А/24 + 0,01• 23А/24 + А/24 + 0,01• 22А/24 + … + А/24 + 0,01• 13А/24 =12А/24 + 0,01А/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = А/2 + 222А/2400 = 711А/1200.
А по условию она равна 177,375 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
711А/1200 = 177,75,
А=300 (тыс. руб.) =300000 рублей – планируется взять в кредит.
Ответ: 300000 рублей.