Самые простые задачи этого типа приведены ниже.
Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
Решение:
10 • 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором (например, 15%-й раствор соли).
Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение:
Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.
1. 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2. 10 : 25 • 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3. 15 : 25 • 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве.
Ответ: 40%, 60%.
В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?
Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде.
Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.
Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m.
Тогда:
· концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;
· процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;
Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.
Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация .
2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом добавлении смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет P%, то это означает, что масса этого вещества составляет P% от массы всего соединения.
Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.
Решение:
300 • 0,87 = 261 (г).
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
Отношения объема чистого компонента в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этого компонента.
Сумма концентраций всех компонентов, составляющих смесь, равна 1.
Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
К = P/100%,
где К - концентрация вещества;
P - процентное содержание вещества (в процентах).
Пример. (Вариант 8 № 22. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)
Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные – 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?
Решение:
Если в свежих фруктах содержится 75% воды, то сухого вещества будет 100 – 75 = 25 (%), а высушенные – 25%, то сухого вещества в них будет 100 – 25 = 75 (%).
При оформлении решения задачи, можно использовать таблицу:
Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества
Свежие фрукты х 25% = 0,25 0,25 • х
Высушенные фрукты 45 75% = 0,75 0,75 • 45 = 33,75
Т.к. масса сухого вещества для свежих и высушенных фруктов не меняется, то получим уравнение:
0,25 • х = 33,75;
х = 33,75 : 0,25;
х = 135 (кг) – требуется свежих фруктов.
Ответ: 135 кг.
Пример. (Вариант 8 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
Смешав 70 % -й и 60 % -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 % -й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 % -й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?
Решение:
Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества
I х 70% = 0,7 0,7 • х
II у 60% = 0,6 0,6 • у
вода 2 – –
I + II + вода х + у + 2 50 % = 0,5 0,5 • ( х + у + 2 )
III 2 90 % = 0,9 0,9 • 2 = 1,8
I + II + III х + у + 2 70 % = 0,7 0,7 • ( х + у + 2)
Используя последний столбик из таблицы составим 2 уравнения:
0,7 • х + 0,6 • у = 0,5 • ( х + у + 2 ) и 0,7 • х + 0,6 • у + 1,8 = 0,7 • ( х + у + 2).
Объединив их в систему, и решив ее, получим, что х = 3 кг.
Ответ: 3 килограмма 70 % -го раствора использовали для получения смеси.
Пример. (Вариант 2 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?
Решение:
Из первого предложения задачи получаем следующие равенства:
3ч = 5в,
3в = 2к.
Из которых можно выразить: ч = 5в/3, к = 3в/2.
Таким образом можно составить пропорцию:
5в/3 – 100%
3в/2 – х %, получим х = (3 • 100 • в •3)/(2 • 5 • в), х = 90% составляет стоимость килограмма клубники от стоимости килограмма черешни.
Значит, на 100 – 90 = 10 (%) – килограмм клубники дешевле килограмма черешни.